利用Matlab中的Simulink对Duffen方程系统运动机制进行仿真

能够得到不同参数下的时域图和相图，且数据能导入到workspace后进一步进行处理。

系统的运动总是要受到阻尼作用，而阻尼力通常都是速度的函数，考虑此阻尼作用， 势能具有对称性的弹性系统在周期力作用下的运动方程可表示为： 此即著名的达芬(Duffing)方程。在外周期力的作用下，达芬方程变为： 式中F和Ω分别为外力的幅值和（圆）频率。受迫达芬方程可以引发混沌运动。为了便于看出混沌运动出现的机制，我们将公式改写为： 此方程所表示的周期外力作用下的达芬系统可以看成是两个系统的耦合：一个是固有非线性系统（无外力作用的达芬系统）；另一个是线性振子，即此方程的最后两个方程。式中的F表示耦合强度。同样，我们用Simulink对达芬系统进行了电路仿真实验，所搭建的方框图如图1所示（文件名ex11_Duffen.mdl）。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1 周期外力作用下的达芬系统仿真电路图 　　　　图2 达芬方程中F取不同值（由上往下依次为取0.20、0.27、0.28、0.286、0.32、0.365、0.40、0.645、0.85）时的x-t曲线　　　　　　 当外加周期力不存在（F=0）时，达芬系统将以螺旋线形式（衰减振荡）趋于两稳定焦点之一。到底趋于哪一焦点则由初始条件决定。 当外加周期力较小（F很小）时，线性系统的振荡很弱，它对非线性达芬系统的作用也很弱，整个系统的运动便可近似地看成两独立运动的叠加，即整个系统的运动是围绕两焦点之一的线性振荡，其振荡频率ω就是Ω。如图2.a所示。加大外力振幅F，系统绕焦点的运动出现分频（倍周期），随着F加大，振荡周期依次成倍变大:τ=2nT，n是正整数。如图2.b~d所示。图3为图2中部分F取值时在 相平面平面上的轨线。由于F较小、振荡较弱（振幅不大），振荡不致越出既定的流域而走向另一侧的焦点附近，如图2a~d所示。 当F再加大以至超过某一临界值Fc时，两系统的耦合作用强到使振荡的振幅大到可以超过原来流域的边界，系统将从原来的流域进入到另一流域，从而将趋向另一焦点并在其附近震荡。如此反复，系统便在两焦点附近来回跃迁和振荡，但极难重复原来的轨道而使运动具有随机性，这种运动便是混沌。如图2.e和图2.g所示。图3.e为混沌运动时相平面上的奇怪吸引子。在个别特殊情况下，混沌运动中将出现所谓周期周期窗口窗口，如图2.f所示。图2.h和2.i是F进一步加大至线性振子处于主导地位时系统以外加周期力的频率或其分频做线性振动时的情形。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3 　图2中部分F取值时在（x， ）相平面上的轨线

图4给出了达芬系统的运动随外加周期力的幅值大小的变化而变化的情况，系统从1T，2T，4T，8T…。最终发展到混沌运动，即系统运动由倍周期分岔通向混沌。与前面的运动理论分析及图2和图3的结果都吻合的很好。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4　达芬方程的分岔图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学基础实验.rar